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96. 不同的二叉搜索树

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

 

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

 

提示：

  • 1 <= n <= 19

解法

方法一：动态规划

思考

上一题要列出所有树，这一题只要个数。结构相同：选定根后，左右子树的形态数相乘，再对根求和。不同之处在于「树的形态」可以换成「节点个数」——任意 \(i\) 个连续整数能构成的 BST 数量相同。

令 \(f[i]\) 为 \(i\) 个节点的方案数，空树 \(f[0] = 1\)，按节点数从小到大递推，避免对同一规模重复搜索。

我们定义 \(f[i]\) 表示 \([1, i]\) 能产生的二叉搜索树的个数，初始时 \(f[0] = 1\)，答案为 \(f[n]\)。

我们可以枚举节点数 \(i\)，那么左子树节点数 \(j \in [0, i - 1]\)，右子树节点数 \(k = i - j - 1\)，左子树节点数和右子树节点数的组合数为 \(f[j] \times f[k]\)，因此 \(f[i] = \sum_{j = 0}^{i - 1} f[j] \times f[i - j - 1]\)。

最后返回 \(f[n]\) 即可。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为节点数。

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class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        f = [1] + [0] * n
        for i in range(n + 1):
            for j in range(i):
                f[i] += f[j] * f[i - j - 1]
        return f[n]

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class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                f[i] += f[j] * f[i - j - 1];
            }
        }
        return f[n];
    }
}

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class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                f[i] += f[j] * f[i - j - 1];
            }
        }
        return f[n];
    }
};

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func numTrees(n int) int {
    f := make([]int, n+1)
    f[0] = 1
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 0; j < i; j++ {
            f[i] += f[j] * f[i-j-1]
        }
    }
    return f[n]
}

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function numTrees(n: number): number {
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    f[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        for (let j = 0; j < i; ++j) {
            f[i] += f[j] * f[i - j - 1];
        }
    }
    return f[n];
}

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impl Solution {
    pub fn num_trees(n: i32) -> i32 {
        let n = n as usize;
        let mut f = vec![0; n + 1];
        f[0] = 1;
        for i in 1..=n {
            for j in 0..i {
                f[i] += f[j] * f[i - j - 1];
            }
        }
        f[n] as i32
    }
}

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public class Solution {
    public int NumTrees(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                f[i] += f[j] * f[i - j - 1];
            }
        }
        return f[n];
    }
}

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