69. x 的平方根

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 2³¹ - 1

解法

方法一：二分查找

思考

题目要求不使用内置开方运算，求出不超过 \(x\) 的最大整数平方根。若从 \(0\) 线性枚举直至 \(i^2 > x\)，则 \(x\) 最大约为 \(2^{31}-1\)，扫描过慢，且 \(i^2\) 容易溢出。

答案具有单调性：若 \(mid^2 \le x\)，则更大的候选仍可能合法，否则只能缩小上界。因此可以在 \([0, x]\) 上二分。比较时写成 \(mid > x / mid\)，避免乘法溢出；取上中位数并将区间收缩为「最大的可行值」，结束时左端点即为整数平方根。

我们定义二分查找的左边界 \(l = 0\)，右边界 \(r = x\)，然后在 \([l, r]\) 范围内查找平方根。

在每一步查找中，我们找出中间值 \(mid = (l + r + 1) / 2\)，如果 \(mid > x / mid\)，说明平方根在 \([l, mid - 1]\) 范围内，我们令 \(r = mid - 1\)；否则说明平方根在 \([mid, r]\) 范围内，我们令 \(l = mid\)。

查找结束后，返回 \(l\) 即可。

时间复杂度 \(O(\log x)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoRustJavaScriptC#

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        l, r = 0, x
        while l < r:
            mid = (l + r + 1) >> 1
            if mid > x // mid:
                r = mid - 1
            else:
                l = mid
        return l

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r + 1) >>> 1;
            if (mid > x / mid) {
                r = mid - 1;
            } else {
                l = mid;
            }
        }
        return l;
    }
}

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r + 1ll) >> 1;
            if (mid > x / mid) {
                r = mid - 1;
            } else {
                l = mid;
            }
        }
        return l;
    }
};

func mySqrt(x int) int {
    return sort.Search(x+1, func(i int) bool { return i*i > x }) - 1
}

impl Solution {
    pub fn my_sqrt(x: i32) -> i32 {
        let mut l = 0;
        let mut r = x;

        while l < r {
            let mid = (l + r + 1) / 2;

            if mid > x / mid {
                r = mid - 1;
            } else {
                l = mid;
            }
        }

        l
    }
}

/**
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
var mySqrt = function (x) {
    let [l, r] = [0, x];
    while (l < r) {
        const mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (mid > x / mid) {
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid;
        }
    }
    return l;
};

public class Solution {
    public int MySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r + 1) >>> 1;
            if (mid > x / mid) {
                r = mid - 1;
            } else {
                l = mid;
            }
        }
        return l;
    }
}

69. x 的平方根

题目描述

解法

方法一：二分查找

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