446. 等差数列划分 II - 子序列

题目描述

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

提示：

1 <= nums.length <= 1000
-2³¹ <= nums[i] <= 2³¹ - 1

解法

方法一：动态规划 + 哈希表

思考

子序列不必连续，公差范围大，枚举长度至少为 \(3\) 的子序列不可行。\(n\le 1000\)，可以接受 \(O(n^2)\)。

令 \(f[i][d]\) 为以 \(i\) 结尾、公差 \(d\) 的弱等差子序列（至少两个元素）个数。枚举 \(j<i\)，\(d=nums[i]-nums[j]\)，已有的 \(f[j][d]\) 条再接上 \(nums[i]\) 就成为长度至少为 \(3\) 的答案，同时 \(f[i][d]\) 加上 \(f[j][d]+1\)（含新的数对）。

公差用哈希表而不开数组。先把 \(f[j][d]\) 计入答案，再更新 \(f[i][d]\)，弱序列与真切片在同一次枚举中完成。

我们定义 \(f[i][d]\) 表示以 \(nums[i]\) 为结尾，公差为 \(d\) 的弱等差子序列（最少有两个元素）的个数。由于 \(d\) 的范围很大，所以我们使用哈希表来统计。

接下来，我们枚举 \(nums\) 中的所有元素对 \((nums[i], nums[j])\)，其中 \(j \lt i\)。我们将其作为等差数列的最后两个元素，由此即可得到公差 \(d = nums[i] - nums[j]\)。由于公差相同，我们可以将 \(nums[i]\) 加到以 \(nums[j]\) 为结尾的弱等差子序列的末尾，此时以 \(nums[i]\) 为结尾的等差子序列的数量为 \(f[j][d]\)，我们将其加入答案。然后，我们再将 \(nums[i]\) 加到以 \(nums[j]\) 为结尾的弱等差子序列的末尾，这对应着状态转移 \(f[i][d] += f[j][d]\)。同时，\((nums[i], nums[j])\) 这一对元素也可以当作一个弱等差子序列，因此有状态转移 \(f[i][d] += f[j][d] + 1\)。

枚举结束，返回答案即可。

时间复杂度 \(O(n^2)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)。其中 \(n\) 是数组 \(nums\) 的长度。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def numberOfArithmeticSlices(self, nums: List[int]) -> int:
        f = [defaultdict(int) for _ in nums]
        ans = 0
        for i, x in enumerate(nums):
            for j, y in enumerate(nums[:i]):
                d = x - y
                ans += f[j][d]
                f[i][d] += f[j][d] + 1
        return ans

class Solution {
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Map<Long, Integer>[] f = new Map[n];
        Arrays.setAll(f, k -> new HashMap<>());
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                Long d = 1L * nums[i] - nums[j];
                int cnt = f[j].getOrDefault(d, 0);
                ans += cnt;
                f[i].merge(d, cnt + 1, Integer::sum);
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        unordered_map<long long, int> f[n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                long long d = 1LL * nums[i] - nums[j];
                int cnt = f[j][d];
                ans += cnt;
                f[i][d] += cnt + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

func numberOfArithmeticSlices(nums []int) (ans int) {
    f := make([]map[int]int, len(nums))
    for i := range f {
        f[i] = map[int]int{}
    }
    for i, x := range nums {
        for j, y := range nums[:i] {
            d := x - y
            cnt := f[j][d]
            ans += cnt
            f[i][d] += cnt + 1
        }
    }
    return
}

function numberOfArithmeticSlices(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    const f: Map<number, number>[] = new Array(n).fill(0).map(() => new Map());
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        for (let j = 0; j < i; ++j) {
            const d = nums[i] - nums[j];
            const cnt = f[j].get(d) || 0;
            ans += cnt;
            f[i].set(d, (f[i].get(d) || 0) + cnt + 1);
        }
    }
    return ans;
}

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方法一：动态规划 + 哈希表

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