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338. 比特位计数

题目描述

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

不要使用内置函数来解决（例如，C++ 中的 __builtin_popcount）。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,1]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2：

输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

 

提示：

  • 0 <= n <= 105

 

进阶：

  • 很容易就能实现时间复杂度为 O(n log n) 的解决方案，你可以在线性时间复杂度 O(n) 内用一趟扫描解决此问题吗？

解法

方法一：位运算

思考

求 \(0\ldots n\) 每个数的二进制 \(1\) 的个数。对每个 \(i\) 单独数位需 \(O(\log i)\)。\(n\) 最大 \(10^5\)，线性带对数可过，但可再快。

直接对每个 \(i\) 调用 bit_count（或反复 lowbit）即可得到答案数组。

我们直接枚举 \(0 \leq i \leq n\) 中的每个数，对于每个数 \(i\)，我们用库函数或者 \(lowbit\) 运算得到 \(i\) 中二进制位 \(1\) 的个数。

时间复杂度 \(O(n \times \log n)\)，忽略答案的空间消耗，空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        return [i.bit_count() for i in range(n + 1)]

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class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            ans[i] = Integer.bitCount(i);
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            ans[i] = __builtin_popcount(i);
        }
        return ans;
    }
};

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func countBits(n int) []int {
    ans := make([]int, n+1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        ans[i] = bits.OnesCount(uint(i))
    }
    return ans
}

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function countBits(n: number): number[] {
    const ans: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i <= n; ++i) {
        ans[i] = bitCount(i);
    }
    return ans;
}

function bitCount(n: number): number {
    let count = 0;
    while (n) {
        n &= n - 1;
        ++count;
    }
    return count;
}

方法二：动态规划

思考

方法一对每个数独立计数。\(i\) 去掉最低位 \(1\) 后为 \(i\&(i-1)\)，其答案已知，故 \(ans[i]=ans[i\&(i-1)]+1\)。自小到大填表，总时间 \(O(n)\)。

我们定义一个长度为 \(n+1\) 的答案数组 \(ans\)，初始时 \(ans[0]=0\)。

对于 \(1 \leq i \leq n\)，我们有 \(ans[i] = ans[i \textit{ and } (i-1)] + 1\)。其中 \(i \textit{ and } (i-1)\) 表示将 \(i\) 的二进制表示中的最低位 \(1\) 变成 \(0\) 之后的数，显然 \(i \textit{ and } (i-1) < i\)，且 \(ans[i \textit{ and } (i-1)]\) 已经被计算出来了，我们就能以 \(O(1)\) 的时间得到 \(ans[i]\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        ans = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1
        return ans

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class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return ans;
    }
};

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func countBits(n int) []int {
    ans := make([]int, n+1)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        ans[i] = ans[i&(i-1)] + 1
    }
    return ans
}

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function countBits(n: number): number[] {
    const ans: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
    }
    return ans;
}

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