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2240. 买钢笔和铅笔的方案数

题目描述

给你一个整数 total ，表示你拥有的总钱数。同时给你两个整数 cost1 和 cost2 ，分别表示一支钢笔和一支铅笔的价格。你可以花费你部分或者全部的钱，去买任意数目的两种笔。

请你返回购买钢笔和铅笔的 不同方案数目 。

 

示例 1：

输入：total = 20, cost1 = 10, cost2 = 5
输出：9
解释：一支钢笔的价格为 10 ，一支铅笔的价格为 5 。
- 如果你买 0 支钢笔，那么你可以买 0 ，1 ，2 ，3 或者 4 支铅笔。
- 如果你买 1 支钢笔，那么你可以买 0 ，1 或者 2 支铅笔。
- 如果你买 2 支钢笔，那么你没法买任何铅笔。
所以买钢笔和铅笔的总方案数为 5 + 3 + 1 = 9 种。

示例 2：

输入：total = 5, cost1 = 10, cost2 = 10
输出：1
解释：钢笔和铅笔的价格都为 10 ，都比拥有的钱数多，所以你没法购买任何文具。所以只有 1 种方案：买 0 支钢笔和 0 支铅笔。

 

提示：

  • 1 <= total, cost1, cost2 <= 106

解法

方法一：枚举

思考

总金额为 \(\textit{total}\)，两种商品单价固定，购买数量不限，求方案数。完全背包在 \(\textit{total} \le 10^6\) 时空间偏大，且只需计数。固定钢笔数量后，铅笔的可行个数是一段前缀。

枚举钢笔支数 \(x \in [0, \lfloor \textit{total}/\textit{cost1} \rfloor]\)，剩余金额能买 \(0\) 到 \(\lfloor (\textit{total}-x\cdot\textit{cost1})/\textit{cost2} \rfloor\) 支铅笔，贡献该值加一。循环长度约为 \(\textit{total}/\textit{cost1}\)。

我们可以枚举购买钢笔的数量 \(x\)，对于每个 \(x\)，我们最多可以购买铅笔的数量为 \(\frac{\textit{total} - x \times \textit{cost1}}{\textit{cost2}}\)，那么数量加 \(1\) 即为 \(x\) 的方案数。我们累加所有的 \(x\) 的方案数，即为答案。

时间复杂度 \(O(\frac{total}{cost1})\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def waysToBuyPensPencils(self, total: int, cost1: int, cost2: int) -> int:
        ans = 0
        for x in range(total // cost1 + 1):
            y = (total - (x * cost1)) // cost2 + 1
            ans += y
        return ans

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class Solution {
    public long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) {
        long ans = 0;
        for (int x = 0; x <= total / cost1; ++x) {
            int y = (total - x * cost1) / cost2 + 1;
            ans += y;
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    long long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) {
        long long ans = 0;
        for (int x = 0; x <= total / cost1; ++x) {
            int y = (total - x * cost1) / cost2 + 1;
            ans += y;
        }
        return ans;
    }
};

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func waysToBuyPensPencils(total int, cost1 int, cost2 int) (ans int64) {
    for x := 0; x <= total/cost1; x++ {
        y := (total-x*cost1)/cost2 + 1
        ans += int64(y)
    }
    return
}

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function waysToBuyPensPencils(total: number, cost1: number, cost2: number): number {
    let ans = 0;
    for (let x = 0; x <= Math.floor(total / cost1); ++x) {
        const y = Math.floor((total - x * cost1) / cost2) + 1;
        ans += y;
    }
    return ans;
}

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impl Solution {
    pub fn ways_to_buy_pens_pencils(total: i32, cost1: i32, cost2: i32) -> i64 {
        let mut ans: i64 = 0;
        for pen in 0..=total / cost1 {
            ans += (((total - pen * cost1) / cost2) as i64) + 1;
        }
        ans
    }
}

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