2187. 完成旅途的最少时间

题目描述

给你一个数组 time ，其中 time[i] 表示第 i 辆公交车完成一趟旅途所需要花费的时间。

每辆公交车可以连续完成多趟旅途，也就是说，一辆公交车当前旅途完成后，可以 立马开始 下一趟旅途。每辆公交车独立运行，也就是说可以同时有多辆公交车在运行且互不影响。

给你一个整数 totalTrips ，表示所有公交车总共需要完成的旅途数目。请你返回完成至少 totalTrips 趟旅途需要花费的最少时间。

示例 1：

输入：time = [1,2,3], totalTrips = 5
输出：3
解释：
- 时刻 t = 1 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [1,0,0] 。
  已完成的总旅途数为 1 + 0 + 0 = 1 。
- 时刻 t = 2 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [2,1,0] 。
  已完成的总旅途数为 2 + 1 + 0 = 3 。
- 时刻 t = 3 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [3,1,1] 。
  已完成的总旅途数为 3 + 1 + 1 = 5 。
所以总共完成至少 5 趟旅途的最少时间为 3 。

示例 2：

输入：time = [2], totalTrips = 1
输出：2
解释：
只有一辆公交车，它将在时刻 t = 2 完成第一趟旅途。
所以完成 1 趟旅途的最少时间为 2 。

提示：

1 <= time.length <= 10⁵
1 <= time[i], totalTrips <= 10⁷

解法

方法一：二分查找

思考

时刻 \(t\) 内完成的旅途数为 \(\sum \lfloor t/\textit{time}_i\rfloor\)，该函数对 \(t\) 单调，求最小的 \(t\) 使得其不小于 \(\textit{totalTrips}\)。枚举 \(t\) 的上界可达 \(\min(\textit{time})\times\textit{totalTrips}\)，线性扫描不可行。

在 \([0,\textit{mx})\) 上对「完成趟数」做二分，库函数 \(\texttt{bisect\_left}\) 即找到最小可行时刻。

每次判定为对数组的一次线性求和。

我们注意到，如果我们能在 \(t\) 时间内至少完成 \(totalTrips\) 趟旅途，那么在 \(t' > t\) 时间内也能至少完成 \(totalTrips\) 趟旅途。因此我们可以使用二分查找的方法来找到最小的 \(t\)。

我们定义二分查找的左边界 \(l = 1\)，右边界 \(r = \min(time) \times \textit{totalTrips}\)。每一次二分查找，我们计算中间值 \(\textit{mid} = \frac{l + r}{2}\)，然后计算在 \(\textit{mid}\) 时间内能完成的旅途数目。如果这个数目大于等于 \(\textit{totalTrips}\)，那么我们将右边界缩小到 \(\textit{mid}\)，否则我们将左边界扩大到 \(\textit{mid} + 1\)。

最后返回左边界即可。

时间复杂度 \(O(n \times \log(m \times k))\)，其中 \(n\) 和 \(k\) 分别是数组 \(time\) 的长度和 \(totalTrips\)，而 \(m\) 是数组 \(time\) 中的最小值。空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def minimumTime(self, time: List[int], totalTrips: int) -> int:
        mx = min(time) * totalTrips
        return bisect_left(
            range(mx), totalTrips, key=lambda x: sum(x // v for v in time)
        )

class Solution {
    public long minimumTime(int[] time, int totalTrips) {
        int mi = time[0];
        for (int v : time) {
            mi = Math.min(mi, v);
        }
        long left = 1, right = (long) mi * totalTrips;
        while (left < right) {
            long cnt = 0;
            long mid = (left + right) >> 1;
            for (int v : time) {
                cnt += mid / v;
            }
            if (cnt >= totalTrips) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

class Solution {
public:
    long long minimumTime(vector<int>& time, int totalTrips) {
        int mi = *min_element(time.begin(), time.end());
        long long left = 1, right = 1LL * mi * totalTrips;
        while (left < right) {
            long long cnt = 0;
            long long mid = (left + right) >> 1;
            for (int v : time) {
                cnt += mid / v;
            }
            if (cnt >= totalTrips) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
};

func minimumTime(time []int, totalTrips int) int64 {
    mx := slices.Min(time) * totalTrips
    return int64(sort.Search(mx, func(x int) bool {
        cnt := 0
        for _, v := range time {
            cnt += x / v
        }
        return cnt >= totalTrips
    }))
}

function minimumTime(time: number[], totalTrips: number): number {
    let left = 1n;
    let right = BigInt(Math.min(...time)) * BigInt(totalTrips);
    while (left < right) {
        const mid = (left + right) >> 1n;
        const cnt = time.reduce((acc, v) => acc + mid / BigInt(v), 0n);
        if (cnt >= BigInt(totalTrips)) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1n;
        }
    }
    return Number(left);
}

2187. 完成旅途的最少时间

题目描述

解法

方法一：二分查找

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