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2145. 统计隐藏数组数目

题目描述

给你一个下标从 0 开始且长度为 n 的整数数组 differences ，它表示一个长度为 n + 1 的 隐藏 数组 相邻 元素之间的 差值 。更正式的表述为：我们将隐藏数组记作 hidden ，那么 differences[i] = hidden[i + 1] - hidden[i] 。

同时给你两个整数 lower 和 upper ，它们表示隐藏数组中所有数字的值都在 闭 区间 [lower, upper] 之间。

  • 比方说，differences = [1, -3, 4] ，lower = 1 ，upper = 6 ，那么隐藏数组是一个长度为 4 且所有值都在 1 和 6 （包含两者）之间的数组。
    • [3, 4, 1, 5] 和 [4, 5, 2, 6] 都是符合要求的隐藏数组。
    • [5, 6, 3, 7] 不符合要求，因为它包含大于 6 的元素。
    • [1, 2, 3, 4] 不符合要求，因为相邻元素的差值不符合给定数据。

请你返回 符合 要求的隐藏数组的数目。如果没有符合要求的隐藏数组，请返回 0 。

 

示例 1：

输入：differences = [1,-3,4], lower = 1, upper = 6
输出：2
解释：符合要求的隐藏数组为：
- [3, 4, 1, 5]
- [4, 5, 2, 6]
所以返回 2 。

示例 2：

输入：differences = [3,-4,5,1,-2], lower = -4, upper = 5
输出：4
解释：符合要求的隐藏数组为：
- [-3, 0, -4, 1, 2, 0]
- [-2, 1, -3, 2, 3, 1]
- [-1, 2, -2, 3, 4, 2]
- [0, 3, -1, 4, 5, 3]
所以返回 4 。

示例 3：

输入：differences = [4,-7,2], lower = 3, upper = 6
输出：0
解释：没有符合要求的隐藏数组，所以返回 0 。

 

提示：

  • n == differences.length
  • 1 <= n <= 105
  • -105 <= differences[i] <= 105
  • -105 <= lower <= upper <= 105

解法

方法一：前缀和

思考

相邻差已给定，隐数组在平移意义下形状固定，合法起点必须使全程落在 \([\textit{lower},\textit{upper}]\)。若枚举起点再模拟，值域可达 \(10^5\) 量级以外的平移，且 \(n\) 也大。

设首项为 \(0\) 做前缀和，记最小、最大前缀为 \(\textit{mi}\)、\(\textit{mx}\)。真实首项 \(x\) 需满足 \(\textit{lower}-\textit{mi}\le x\le \textit{upper}-\textit{mx}\)，个数为区间长度与 \(0\) 的较大者。

一遍扫描维护前缀极值即可。

由于数组 \(\textit{differences}\) 已经确定，那么数组 \(\textit{hidden}\) 的元素最大值与最小值之差也是固定的，我们只要确保差值不超过 \(\textit{upper} - \textit{lower}\) 即可。

我们不妨假设数组 \(\textit{hidden}\) 的第一个元素为 \(0\)，那么 \(\textit{hidden}[i] = \textit{hidden}[i - 1] + \textit{differences}[i - 1]\)，其中 \(1 \leq i \leq n\)。记数组 \(\textit{hidden}\) 的最大值为 \(mx\)，最小值为 \(mi\)，如果 \(mx - mi \leq \textit{upper} - \textit{lower}\)，那么我们就可以构造出一个合法的 \(\textit{hidden}\) 数组，可以构造的个数为 \(\textit{upper} - \textit{lower} - (mx - mi) + 1\)。否则，无法构造出合法的 \(\textit{hidden}\) 数组，返回 \(0\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 是数组 \(\textit{differences}\) 的长度。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def numberOfArrays(self, differences: List[int], lower: int, upper: int) -> int:
        x = mi = mx = 0
        for d in differences:
            x += d
            mi = min(mi, x)
            mx = max(mx, x)
        return max(upper - lower - (mx - mi) + 1, 0)

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class Solution {
    public int numberOfArrays(int[] differences, int lower, int upper) {
        long x = 0, mi = 0, mx = 0;
        for (int d : differences) {
            x += d;
            mi = Math.min(mi, x);
            mx = Math.max(mx, x);
        }
        return (int) Math.max(upper - lower - (mx - mi) + 1, 0);
    }
}

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class Solution {
public:
    int numberOfArrays(vector<int>& differences, int lower, int upper) {
        long long x = 0, mi = 0, mx = 0;
        for (int d : differences) {
            x += d;
            mi = min(mi, x);
            mx = max(mx, x);
        }
        return max(upper - lower - (mx - mi) + 1, 0LL);
    }
};

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func numberOfArrays(differences []int, lower int, upper int) int {
    x, mi, mx := 0, 0, 0
    for _, d := range differences {
        x += d
        mi = min(mi, x)
        mx = max(mx, x)
    }
    return max(0, upper-lower-(mx-mi)+1)
}

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function numberOfArrays(differences: number[], lower: number, upper: number): number {
    let [x, mi, mx] = [0, 0, 0];
    for (const d of differences) {
        x += d;
        mi = Math.min(mi, x);
        mx = Math.max(mx, x);
    }
    return Math.max(0, upper - lower - (mx - mi) + 1);
}

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