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1923. 最长公共子路径

题目描述

一个国家由 n 个编号为 0 到 n - 1 的城市组成。在这个国家里，每两个 城市之间都有一条道路连接。

总共有 m 个编号为 0 到 m - 1 的朋友想在这个国家旅游。他们每一个人的路径都会包含一些城市。每条路径都由一个整数数组表示，每个整数数组表示一个朋友按顺序访问过的城市序列。同一个城市在一条路径中可能 重复 出现，但同一个城市在一条路径中不会连续出现。

给你一个整数 n 和二维数组 paths ，其中 paths[i] 是一个整数数组，表示第 i 个朋友走过的路径，请你返回 每一个 朋友都走过的 最长公共子路径 的长度，如果不存在公共子路径，请你返回 0 。

一个 子路径 指的是一条路径中连续的城市序列。

 

示例 1：

输入：n = 5, paths = [[0,1,2,3,4],
                     [2,3,4],
                     [4,0,1,2,3]]
输出：2
解释：最长公共子路径为 [2,3] 。

示例 2：

输入：n = 3, paths = [[0],[1],[2]]
输出：0
解释：三条路径没有公共子路径。

示例 3：

输入：n = 5, paths = [[0,1,2,3,4],
                     [4,3,2,1,0]]
输出：1
解释：最长公共子路径为 [0]，[1]，[2]，[3] 和 [4] 。它们长度都为 1 。

 

提示：

  • 1 <= n <= 105
  • m == paths.length
  • 2 <= m <= 105
  • sum(paths[i].length) <= 105
  • 0 <= paths[i][j] < n
  • paths[i] 中同一个城市不会连续重复出现。

解法

方法一：字符串哈希

思考

公共子路径越长越难同时出现，长度具有单调性；但路径总长可达 \(10^5\)，不能对每个长度做二次比较。

对长度 \(k\) 做二分，用滚动哈希把每条路径的长度为 \(k\) 的子段映射为整数，再统计同时出现在全部 \(m\) 条路径中的哈希。存在则尝试更长。

预处理幂与前缀哈希后，单次判定近似线性，总时间多一个对数因子。

字符串哈希是把一个任意长度的字符串映射成一个非负整数，并且其冲突的概率几乎为 0。字符串哈希用于计算字符串哈希值，快速判断两个字符串是否相等。

取一固定值 BASE，把字符串看作是 BASE 进制数，并分配一个大于 0 的数值，代表每种字符。一般来说，我们分配的数值都远小于 BASE。例如，对于小写字母构成的字符串，可以令 a=1, b=2, ..., z=26。取一固定值 MOD，求出该 BASE 进制对 M 的余数，作为该字符串的 hash 值。

一般来说，取 BASE=131 或者 BASE=13331，此时 hash 值产生的冲突概率极低。只要两个字符串 hash 值相同，我们就认为两个字符串是相等的。通常 MOD 取 2^64，C++ 里，可以直接使用 unsigned long long 类型存储这个 hash 值，在计算时不处理算术溢出问题，产生溢出时相当于自动对 2^64 取模，这样可以避免低效取模运算。

除了在极特殊构造的数据上，上述 hash 算法很难产生冲突，一般情况下上述 hash 算法完全可以出现在题目的标准答案中。我们还可以多取一些恰当的 BASE 和 MOD 的值（例如大质数），多进行几组 hash 运算，当结果都相同时才认为原字符串相等，就更加难以构造出使这个 hash 产生错误的数据。

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class Solution:
    def longestCommonSubpath(self, n: int, paths: List[List[int]]) -> int:
        def check(k: int) -> bool:
            cnt = Counter()
            for h in hh:
                vis = set()
                for i in range(1, len(h) - k + 1):
                    j = i + k - 1
                    x = (h[j] - h[i - 1] * p[j - i + 1]) % mod
                    if x not in vis:
                        vis.add(x)
                        cnt[x] += 1
            return max(cnt.values()) == m

        m = len(paths)
        mx = max(len(path) for path in paths)
        base = 133331
        mod = 2**64 + 1
        p = [0] * (mx + 1)
        p[0] = 1
        for i in range(1, len(p)):
            p[i] = p[i - 1] * base % mod
        hh = []
        for path in paths:
            k = len(path)
            h = [0] * (k + 1)
            for i, x in enumerate(path, 1):
                h[i] = h[i - 1] * base % mod + x
            hh.append(h)
        l, r = 0, min(len(path) for path in paths)
        while l < r:
            mid = (l + r + 1) >> 1
            if check(mid):
                l = mid
            else:
                r = mid - 1
        return l

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class Solution {
    int N = 100010;
    long[] h = new long[N];
    long[] p = new long[N];
    private int[][] paths;
    Map<Long, Integer> cnt = new HashMap<>();
    Map<Long, Integer> inner = new HashMap<>();

    public int longestCommonSubpath(int n, int[][] paths) {
        int left = 0, right = N;
        for (int[] path : paths) {
            right = Math.min(right, path.length);
        }
        this.paths = paths;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right + 1) >> 1;
            if (check(mid)) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }

    private boolean check(int mid) {
        cnt.clear();
        inner.clear();
        p[0] = 1;
        for (int j = 0; j < paths.length; ++j) {
            int n = paths[j].length;
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                p[i] = p[i - 1] * 133331;
                h[i] = h[i - 1] * 133331 + paths[j][i - 1];
            }
            for (int i = mid; i <= n; ++i) {
                long val = get(i - mid + 1, i);
                if (!inner.containsKey(val) || inner.get(val) != j) {
                    inner.put(val, j);
                    cnt.put(val, cnt.getOrDefault(val, 0) + 1);
                }
            }
        }
        int max = 0;
        for (int val : cnt.values()) {
            max = Math.max(max, val);
        }
        return max == paths.length;
    }

    private long get(int l, int r) {
        return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
    }
}

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