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1605. 给定行和列的和求可行矩阵

题目描述

给你两个非负整数数组 rowSum 和 colSum ，其中 rowSum[i] 是二维矩阵中第 i 行元素的和， colSum[j] 是第 j 列元素的和。换言之你不知道矩阵里的每个元素，但是你知道每一行和每一列的和。

请找到大小为 rowSum.length x colSum.length 的任意 非负整数 矩阵，且该矩阵满足 rowSum 和 colSum 的要求。

请你返回任意一个满足题目要求的二维矩阵，题目保证存在 至少一个 可行矩阵。

 

示例 1：

输入：rowSum = [3,8], colSum = [4,7]
输出：[[3,0],
      [1,7]]
解释：
第 0 行：3 + 0 = 3 == rowSum[0]
第 1 行：1 + 7 = 8 == rowSum[1]
第 0 列：3 + 1 = 4 == colSum[0]
第 1 列：0 + 7 = 7 == colSum[1]
行和列的和都满足题目要求，且所有矩阵元素都是非负的。
另一个可行的矩阵为：[[1,2],
                  [3,5]]

示例 2：

输入：rowSum = [5,7,10], colSum = [8,6,8]
输出：[[0,5,0],
      [6,1,0],
      [2,0,8]]

示例 3：

输入：rowSum = [14,9], colSum = [6,9,8]
输出：[[0,9,5],
      [6,0,3]]

示例 4：

输入：rowSum = [1,0], colSum = [1]
输出：[[1],
      [0]]

示例 5：

输入：rowSum = [0], colSum = [0]
输出：[[0]]

 

提示：

  • 1 <= rowSum.length, colSum.length <= 500
  • 0 <= rowSum[i], colSum[i] <= 108
  • sum(rowSum) == sum(colSum)

解法

方法一：贪心 + 构造

思考

需要构造非负矩阵使各行之和、各列之和分别等于给定数组，且 \(\sum \textit{rowSum} = \sum \textit{colSum}\)。逐格搜索填数在 \(m,n \le 500\) 下不可行。

对位置 \((i,j)\) 放入 \(x=\min(\textit{rowSum}[i],\textit{colSum}[j])\) 并同时扣减对应行、列剩余，剩余问题仍满足行和与列和相等，因而可以继续贪心。

按行优先扫描整张表即可得到一组可行解，不必回溯。

我们可以先初始化一个 \(m\) 行 \(n\) 列的答案矩阵 \(ans\)。

接下来，遍历矩阵的每一个位置 \((i, j)\)，将该位置的元素设为 \(x = min(rowSum[i], colSum[j])\)，并将 \(rowSum[i]\) 和 \(colSum[j]\) 分别减去 \(x\)。遍历完所有的位置后，我们就可以得到一个满足题目要求的矩阵 \(ans\)。

以上策略的正确性说明如下：

根据题目的要求，我们知道 \(rowSum\) 和 \(colSum\) 的和是相等的，那么 \(rowSum[0]\) 一定小于等于 \(\sum_{j = 0}^{n - 1} colSum[j]\)。所以，在经过 \(n\) 次操作后，一定能够使得 \(rowSum[0]\) 为 \(0\)，并且保证对任意 \(j \in [0, n - 1]\)，都有 \(colSum[j] \geq 0\)。

因此，我们把原问题缩小为一个 \(m-1\) 行和 \(n\) 列的子问题，继续进行上述的操作，直到 \(rowSum\) 和 \(colSum\) 中的所有元素都为 \(0\)，就可以得到一个满足题目要求的矩阵 \(ans\)。

时间复杂度 \(O(m \times n)\)，空间复杂度 \(O(m \times n)\)。其中 \(m\) 和 \(n\) 分别为 \(rowSum\) 和 \(colSum\) 的长度。

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class Solution:
    def restoreMatrix(self, rowSum: List[int], colSum: List[int]) -> List[List[int]]:
        m, n = len(rowSum), len(colSum)
        ans = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                x = min(rowSum[i], colSum[j])
                ans[i][j] = x
                rowSum[i] -= x
                colSum[j] -= x
        return ans

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class Solution {
    public int[][] restoreMatrix(int[] rowSum, int[] colSum) {
        int m = rowSum.length;
        int n = colSum.length;
        int[][] ans = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                int x = Math.min(rowSum[i], colSum[j]);
                ans[i][j] = x;
                rowSum[i] -= x;
                colSum[j] -= x;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<vector<int>> restoreMatrix(vector<int>& rowSum, vector<int>& colSum) {
        int m = rowSum.size(), n = colSum.size();
        vector<vector<int>> ans(m, vector<int>(n));
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                int x = min(rowSum[i], colSum[j]);
                ans[i][j] = x;
                rowSum[i] -= x;
                colSum[j] -= x;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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func restoreMatrix(rowSum []int, colSum []int) [][]int {
    m, n := len(rowSum), len(colSum)
    ans := make([][]int, m)
    for i := range ans {
        ans[i] = make([]int, n)
    }
    for i := range rowSum {
        for j := range colSum {
            x := min(rowSum[i], colSum[j])
            ans[i][j] = x
            rowSum[i] -= x
            colSum[j] -= x
        }
    }
    return ans
}

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function restoreMatrix(rowSum: number[], colSum: number[]): number[][] {
    const m = rowSum.length;
    const n = colSum.length;
    const ans = Array.from(new Array(m), () => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            const x = Math.min(rowSum[i], colSum[j]);
            ans[i][j] = x;
            rowSum[i] -= x;
            colSum[j] -= x;
        }
    }
    return ans;
}

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/**
 * @param {number[]} rowSum
 * @param {number[]} colSum
 * @return {number[][]}
 */
var restoreMatrix = function (rowSum, colSum) {
    const m = rowSum.length;
    const n = colSum.length;
    const ans = Array.from(new Array(m), () => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            const x = Math.min(rowSum[i], colSum[j]);
            ans[i][j] = x;
            rowSum[i] -= x;
            colSum[j] -= x;
        }
    }
    return ans;
};

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