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1551. 使数组中所有元素相等的最小操作数

题目描述

存在一个长度为 n 的数组 arr ，其中 arr[i] = (2 * i) + 1 （ 0 <= i < n ）。

一次操作中，你可以选出两个下标，记作 x 和 y （ 0 <= x, y < n ）并使 arr[x] 减去 1 、arr[y] 加上 1 （即 arr[x] -=1 且 arr[y] += 1 ）。最终的目标是使数组中的所有元素都 相等 。题目测试用例将会 保证 ：在执行若干步操作后，数组中的所有元素最终可以全部相等。

给你一个整数 n，即数组的长度。请你返回使数组 arr 中所有元素相等所需的 最小操作数 。

 

示例 1：

输入：n = 3
输出：2
解释：arr = [1, 3, 5]
第一次操作选出 x = 2 和 y = 0，使数组变为 [2, 3, 4]
第二次操作继续选出 x = 2 和 y = 0，数组将会变成 [3, 3, 3]

示例 2：

输入：n = 6
输出：9

 

提示：

  • 1 <= n <= 10^4

解法

方法一：数学

思考

数组为 \(1,3,5,\ldots,2n-1\)，每次把一个数加一、另一个减一，要使所有值相等。模拟每次操作在 \(n\le 10^4\) 时偏慢，且总和守恒给出了目标值。

元素之和为 \(n^2\)，平均值为 \(n\)。只需把小于 \(n\) 的前一半元素补到 \(n\)，第 \(i\) 个奇数 \(2i+1\) 需要 \(n-(2i+1)\) 次。对这些缺口求和即得最少操作数。

根据题目描述，数组 \(arr\) 是一个首项为 \(1\)，公差为 \(2\) 的等差数列。那么数组前 \(n\) 项的和为：

\[ \begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \\ &= \frac{n}{2} \times (1 + (2n - 1)) \\ &= n^2 \end{aligned} \]

由于一次操作中，一个数减一，另一个数加一，数组中所有元素的和不变。因此，数组中所有元素相等时，每个元素的值为 \(S_n / n = n\)。那么，数组中所有元素相等所需的最小操作数为：

\[ \sum_{i=0}{\frac{n}{2}} (n - (2i + 1)) \]

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为数组长度。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def minOperations(self, n: int) -> int:
        return sum(n - (i << 1 | 1) for i in range(n >> 1))

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class Solution {
    public int minOperations(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n >> 1; ++i) {
            ans += n - (i << 1 | 1);
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int minOperations(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n >> 1; ++i) {
            ans += n - (i << 1 | 1);
        }
        return ans;
    }
};

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func minOperations(n int) (ans int) {
    for i := 0; i < n>>1; i++ {
        ans += n - (i<<1 | 1)
    }
    return
}

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function minOperations(n: number): number {
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < n >> 1; ++i) {
        ans += n - ((i << 1) | 1);
    }
    return ans;
}

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